July 3, 2007

O Coração de CFD!!


Na minha opinião, a solução numérica (o chamado solver) é a parte principal de um pacote CFD pois este implementa as técnicas numéricas de solução e seus parâmetros para resolver os problemas físicos de modo apropriado. Em resumo, os métodos numéricos que formam a base do solver passam pelos seguintes passos:
  • Aproximação das variáveis incógnitas do escoamento (o que eu quero calcular) através de funções simples.
  • Discretização (e também a geração da malha), pela substituição das aproximações descritas acima nas equações de transporte que governam o escoamento, com manipulações matemáticas subseqüentes.
  • Linearização do sistema de equações algébricas resultante.
  • Definição da estratégia de solução do sistema de equações algébricas lineares.
  • Solução do(s) sistema(s) de equações algébricas lineares.
Existem várias técnicas numéricas de solução e suas diferenças estão associadas à forma com que as variáveis incógnitas são aproximadas e ao procedimento de discretização. Todas estas metodologias numéricas levam a sistemas de equações algébricas lineares (com matrizes cheias ou esparsas) com um grande número de equações e, portanto, uma abordagem numérica para a solução de tal sistema se torna necessária.

Métodos de Discretização
Os métodos de diferenças finitas (MDF) descrevem as incógnitas x do problema de escoamento por meio de valores pontuais nos pontos nodais de uma malha estruturada. Expansões em série de Taylor são normalmente usadas para gerar as aproximações de diferenças finitas das derivadas de x em cada ponto da malha usando os valores de x nos pontos vizinhos. Assim, as derivadas que aparecem nas equações de transporte são substituídas pelas diferenças finitas, levando a uma equação algébrica para os valores de x em cada ponto da malha.

Os métodos de elementos finitos (MEF) utilizam funções simples (por exemplo, lineares ou quadráticas) para descrever as variações das variáveis x a serem calculadas dentro de cada elemento. Estas funções simples são nulas fora do elemento considerado. Somando-se as aproximações para todos os elementos obtém-se uma aproximação funcional para cada variável x em todo o domínio de cálculo. As equações de transporte são plenamente satisfeitas pela solução exata y do problema. Quando as funções aproximadas para as variáveis x são substituídas nas equações de transporte, elas deixam de ser exatas e cada uma delas tem um resíduo que pode ser usado para medir o erro da aproximação. Cada equação aproximada é multiplicada por um conjunto de funções peso e integrada no domínio de cálculo. Como resultado, obtém-se um sistema de equações algébricas para determinar os coeficientes de cada uma das aproximações funcionais.

O método dos volumes finitos (MVF) é a técnica de CFD mais bem estabelecida e usada para propósitos gerais. Esta técnica parte da integração formal das equações de transporte que regem o escoamento do fluido em todos os volumes de controle obtidos pela discretização do domínio. Nesta integração, a forma conservativa de cada equação é usada para que seja possível transformar as integrais em volume dos divergentes dos fluxos advectivos e difusivos em integrais em área dos fluxos normais à superfície dos volumes de controle, através da aplicação do teorema da divergência. Embora esta operação seja exata, a completa discretização deste termos e das outras integrais no volume necessita do uso de técnicas numéricas para aproximar os campos das variáveis conservadas, x, que utilizam funções de interpolação ou aproximações funcionais. A acurácia destas aproximações e da representação obtida para os fluxos através das superfícies dos volumes de controle são os aspectos mais importantes no método de volumes finitos. Como os outros métodos, as equações finais levam a um sistema algébrico de equações.

Apesar de não ser um método de discretização, os métodos espectrais também podem ser usados para resolver problemas em CFD. Esta técnica aproxima as incógnitas por meio de séries truncadas de funções trigonométricas ou polinomiais. Diferentemente das abordagens por diferenças e elementos finitos, as aproximações utilizam funções que tem valores não nulos em todo o domínio de cálculo. Novamente, as incógnitas são substituídas nas equações de transporte pelas suas aproximações. Em um procedimento similar ao do método de elementos finitos, as equações de conservação são multiplicadas por funções teste e integradas no domínio, o que leva a um sistema de equações algébricas para determinar os coeficientes das séries truncadas. Opcionalmente, pode-se impor que o resíduo de uma equação aproximada seja nulo em um certo número de pontos, levando aos chamados métodos de colocação.

A integração da equação em cada volume de controle diferencia o método dos volumes finitos de todas as outras técnicas numéricas de CFD. Corretamente empregada, esta operação leva a equações integrais exatas para a conservação das grandezas físicas em cada volume, que são posteriormente aproximadas. Na minha opinião, esta relação entre o algoritmo numérico e o princípio básico de conservação é um dos principais atrativos do método dos volumes finitos e torna o entendimento de seus conceitos muito mais simples em relação aos outros métodos.

Sem dúvida alguma, depois de discretizar as equações ainda é necessário resolver o sitema de equações algébricas resultante. Com certeza, são vários os métodos numéricos para a solução deste sistema e sua escolha é importante para o algoritmo CFD. Mas isso é assunto para outro post....

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