April 5, 2010

Hipótese do Contínuo

Fluidos são compostos por moléculas que colidem umas com as outras e com objetos sólidos. A hipótese do contínuo considera que os fluidos são contínuos. Ela assume que o fluido é dividido por corpos/partículas que são:
  • pequenos o suficiente para que todas as suas propriedades (como temperatura e densidade) possam ser consideradas uniformes e
  • que são grandes o suficientes para conter um número estatisticamente grande de moléculas

O perfil de densidade em função do volume do corpo estabelecido em uma certa posição (figura acima) pode ser ilustrado pela figura abaixo.


O gráfico acima deve ser interpretado não apenas como a densidade em função do volume do corpo, mas também como a densidade em função do número de moléculas que existem dentro de um certo volume. Quando o volume é pequeno, o número de moléculas é pequeno, a inclusão/exclusão e a densidade pode alterar significativamente com o volume.

A hipótese do contínuo requer que exista um número significativo de moléculas dentro do volume do corpo de forma que a densidade altere-se continuamente com o volume.

A hipótese do contínuo é basicamente uma aproximação e resulta, portanto, em soluções aproximadas. Consequentemente, adotar a hipótese do contínuo pode levar a resultados que não possuem a acurácia desejada. Contudo, aplicado nas condições corretas, a hipótese do contínuo produz resultados extremamente acurados.

Os problemas para os quais a hipótese do contínuo não fornece uma acurácia satisfatória são resolvidos usando mecânica estatística. De modo a determinar quando se deve ou não usar a teoria de fluido dinâmica convencional ou a mecânica estatística, o número de Knudsen deve ser avaliado para o seu problema. O número de Knudsen é definido como a trajetória livre média das moléculas aplicadas a uma escala de tamanho física representativa. Esta escala de tamanho pode ser, por exemplo, o raio de um corpo em um fluido. De forma mais simples, o número de Knudsen representa a média de quantas vezes a partícula (molécula) se move em relação ao seu diâmetro até atingir (colidir) com outra partícula. Problemas com números de Knudsen próximos ou acima da unidade são melhores representados usando a mecânica estatística para soluções mais confiáveis.

É muito importante ter em mente que TODA a mecânica dos fluidos clássica requer que a hipótese do contínuo seja válida.

Portanto, escoamento de gás diluído em nano-poros (em alguns casos, micro poros) não pode ser objeto de estudo da mecânica dos fluido clássica e, obviamente, não pode ser objeto de simulação CFD.

Da mesma forma, o volume mínimo de um elemento de malha é teoricamente limitado pela quantidade de moléculas que estarão dentro daquele volume, ou seja, o volume mínimo de um elemento da malha deve ter moléculas suficientes para que a densidade seja descrita como uma função do contínuo. Infelizmente (ou não !) a real limitação é a memória RAM da máquina que gera a malha e do cluster que irá resolver as equações no domínio definido por ela. O que não impede que exista vários exemplos na literatura (que não vale apena citar aqui) onde o CFD foi aplicado sem validação apropriada da hipótese do contínuo.

Na prática, embora eu tenha dado um tom alarmista nesse último parágrafo, a verdade é que a maior parte dos escoamentos são perfeitamente descritos pela mecânica do contínuo, as exceções tradicionalmente envolvem gases diluídos em canais muito pequenos (poros).

Por ser a base de tudo que fazemos na mecânica do fluidos, considero ser muito importante a imagem do que essa hipótese significa e a melhor imagem que eu tenho de um fluido incompressível pode ser ilustrada pela figura abaixo...

Eu olho para essas piscinas de bolas e vejo água (quando essa pode ser considerada incompressível, claro), porque é exatamente assim que nós modelamos a água. Fonte: site da CBS.

Caso fosse um escoamento compressível, cada bola deve ter a capacidade de ter seu volume alterado sem diminuição do número de moléculas que estejam contidas na bola, assim, o modelo mais apropriado seria de uma piscina de bexigas de festa de aniversário... dá para imaginar a cena ? Pois é ... esse é um fluido genérico.

Vale observar que não existe o "espaço intersticial" entre os volumes que compõem um fluido e que a forma desses volumes não é relevante. Outro ponto interessante é que sobre cada corpo que compõem o fluido aplicam-se todas as leis da mecânica básica (como a segunda lei de newton) e que aplicação da mecânica básica nesse corpo de fluido nos permite escrever o que é conhecido como o Teorema de Transporte de Reynolds. Assunto que será discutido nesse blog em algum dia futuro !

Devo compartilhar a autoria desse texto como Luiz. Ele começou a rabiscar o texto e eu modifiquei e completei, mas aproveitei muito do que ele escreveu. Infelizmente eu não sei como colocar dois nomes em um texto do blogger (e isso nem mesmo faz muito sentido para mim). Seja como for, fica aqui o registro do fato.

As duas primeiras figuras utilizadas nesse texto foram obtidas do livro "A Course in Fluid Mechanics with Vector" de Dennis C. Prieve, 2001, cuja a versão antigamente podia ser gratuitamente obtida na internet em sua página pessoal. Infelizmente não consegui localizar o livro na sua fonte original novamente.