June 28, 2015

Geração de malhas: um grande problema

As equações diferenciais de transporte aplicadas ao escoamento de fluidos, ao serem discretizadas, formam um sistema linear de equações. Contudo, fica a dúvida. O quão acurada é a aproximação das equações diferenciais representada pelo sistema algébrico? A resposta vem do fundamento da metodologia numérica empregada e como o domínio de cálculo é discretizado.

Formulação e discretização do domínio

Para uma dada propriedade conservada em um volume de controle, as equações de tranporte são válidas para qualquer ponto infinitesimal dentro deste volume. Vale notar que a região do contorno afeta o comportamento da propriedade conservada. Para a solução numérica, o domínio passa a ser discretizado sendo, portanto, composto de vários subdomínios.

Discretização de domínio no espaço e tempo

Este processo é chamado de geração da malha computacional. A forma geométrica dos elementos de malha (subdomínios) afetam diretamente quão bem o domínio está representado e a acurácia da aproximação numérica da discretizacão das equações a serem resolvidas no espaço.

Entendendo a formulação

Para descrever o processo, vamos considerar que queremos resolver o problema de escoamento bidimensional com expansão abrupta. O domínio geométrico é bastante simples.

Canal com expansão abrupta

Para simplificar a formulação, vamos considerar a conservação de uma propriedade genérica transportada pelos mecanismos de advecção e difusão. Com isso, a equação de transporte deve ter a forma como colocada abaixo:

A discretização do domínio geométrico pode ser bastante simples, com elementos quadriláteros por exemplo.

Utilizando a técnica dos volumes finitos, a equação diferencial passa a ser válida para cada elemento discreto. Por sua vez, os operadores diferenciais (divergente e laplaciano/gradiente) passam a ser obtidos pelo fluxo de propriedade que atravessa as superfícies/faces dos elementos. Com isso, a equação para um elemento discreto genérico P, composto de faces f, se torna:

Na metodologia de volumes finitos, é usual (mas não obrigatório) que as variáveis estejam alocadas no centro dos volumes. Assim, os fluxos nas faces são estimados através das variáveis nos centros dos volumes. Note que estes fluxos são normais às faces dos volumes e, portanto, o ideal é que a aproximação numérica mantenha esta característica.

Os problemas na aproximação numérica

Dependendo do formato dos elementos de malha, a aproximação dos fluxos normais às faces fica comprometida. Para a malha gerada no canal com expansão abrupta, podemos organizar o equacionamento para um dado volume P de acordo com seus volumes vizinhos.

Por exemplo, para equacionar os fluxos que atravessam as faces do volume P, utiliza-se uma aproximação numérica envolvendo seus vizinhos E, W, N, S. Desta forma, a equação para o volume P usualmente envolve os valores dos vizinhos.
Mas a principal questão envolve a forma de representar o fluxo normal à face e o formato dos elementos da malha. O ideal seria que o vetor que liga os centros dos volumes fosse paralelo ao vetor normal à face. Desta forma, uma aproximação numérica usando o valor da variável no centro dos volumes já estaria respeitando a direção do fluxo normal à face. Isso facilita a vida, não?
Caso não o seja, a aproximação numérica precisaria ser corrigida ou adaptada para considerar o desvio do fluxo normal à face. São diferentes formas de correção do fluxo e irei discutir isso em futuros posts.

A ajuda da malha na representação do fluxo de propriedade

Vale notar que o formato geométrico dos volumes afeta diretamente a conectividade entre seus centros. Deste modo, afeta como será o cálculo da aproximação numérica. Este é o principal motivo dos profissionais de CFD buscarem a “malha perfeita” para seus problemas. E este é um dos tópicos que pretendo focar daqui em diante.
Espero que o texto tenha esclarecido algumas dúvidas. Se ainda sobrou algo, fique à vontade para comentar no post.

Um abraço e até a próxima!

June 26, 2015

Reativando o blog

Depois de muito, mas muito tempo ausente, decidi reativar as postagens sobre Fluidodinâmica Computacional, fenômenos de transporte e assuntos correlatos aqui no Notas em CFD. A decisão não foi difícil, mas complicada pelas atividades do dia a dia.

Atividades paralelas

De fato, o principal motivo pela queda na publicação de posts foram as atividades dos autores. Durante o período de atividades do Notas em CFD, todos defenderam as suas teses e hoje já são felizes detentores de títulos de doutorado. Mas suas atividades não pararam por aí... Por exemplo, o João Felipe Mitre hoje é professor na Universidade Federal Fluminense e em plena forma de suas atividades didáticas. O mesmo destino ocorreu com a Livia Jatobá, que hoje é professora na Universidade Estadual do Rio de Janeiro. Por sua vez, o Fábio Santos é pesquisador associado ao Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, IMPA. Por fim, o Jovani se encontra como pesquisador contratado em projetos de pesquisa na UFRJ e mantém atividades como sócio na empresa de consultoria em CFD, Wikki Brasil.

E você, Luiz F.?

Bem, eu já tinha assumido o cargo de professor na Escola de Química da Universidade Federal do Rio de Janeiro e tentei manter as postagens no Notas. Mas as atividades de professor novo são, em um bom carioquês, sinistras. Desde 2009, eu preparei vários cursos de graduação e pós-graduação, orientei projetos finais, dissertações de mestrado e teses de doutorado. Essa é a parte divertida, mas tem toda a parcela burocrática entranhada no sistema. E isso me toma um tempo absurdo. Em especial quando assumi o cargo de chefe do departamento. Aí o tempo livre chegou quase à escala negativa. A hora de ir ao banheiro tinha que ser agendada com uma semana de antecedência…

Reativação do Notas

Depois da correria do início de carreira, muitos cursos já estão preparados, orientações encaminhadas (ou não…) e os macetes sobre a burocracia e suas regras aprendidas. Pensei nas atividades que eu considerava importantes e prioritárias na função de docente e educador em engenharia. E me lembrei do carinho que sempre tive pelo Notas em CFD. Realmente gostava de escrever os posts, ter o retorno dos leitores e poder contribuir com a propagação do uso de CFD, sua teoria e ferramentas. Portanto, aqui estou de volta.
Espero que gostem dos posts (já tenho alguns planejados) e das novidades que devo implementar aqui… Curioso? Bem, atingi meu objetivo.
Até a próxima semana!