June 28, 2015

Geração de malhas: um grande problema

As equações diferenciais de transporte aplicadas ao escoamento de fluidos, ao serem discretizadas, formam um sistema linear de equações. Contudo, fica a dúvida. O quão acurada é a aproximação das equações diferenciais representada pelo sistema algébrico? A resposta vem do fundamento da metodologia numérica empregada e como o domínio de cálculo é discretizado.

Formulação e discretização do domínio

Para uma dada propriedade conservada em um volume de controle, as equações de tranporte são válidas para qualquer ponto infinitesimal dentro deste volume. Vale notar que a região do contorno afeta o comportamento da propriedade conservada. Para a solução numérica, o domínio passa a ser discretizado sendo, portanto, composto de vários subdomínios.

Discretização de domínio no espaço e tempo

Este processo é chamado de geração da malha computacional. A forma geométrica dos elementos de malha (subdomínios) afetam diretamente quão bem o domínio está representado e a acurácia da aproximação numérica da discretizacão das equações a serem resolvidas no espaço.

Entendendo a formulação

Para descrever o processo, vamos considerar que queremos resolver o problema de escoamento bidimensional com expansão abrupta. O domínio geométrico é bastante simples.

Canal com expansão abrupta

Para simplificar a formulação, vamos considerar a conservação de uma propriedade genérica transportada pelos mecanismos de advecção e difusão. Com isso, a equação de transporte deve ter a forma como colocada abaixo:

A discretização do domínio geométrico pode ser bastante simples, com elementos quadriláteros por exemplo.

Utilizando a técnica dos volumes finitos, a equação diferencial passa a ser válida para cada elemento discreto. Por sua vez, os operadores diferenciais (divergente e laplaciano/gradiente) passam a ser obtidos pelo fluxo de propriedade que atravessa as superfícies/faces dos elementos. Com isso, a equação para um elemento discreto genérico P, composto de faces f, se torna:

Na metodologia de volumes finitos, é usual (mas não obrigatório) que as variáveis estejam alocadas no centro dos volumes. Assim, os fluxos nas faces são estimados através das variáveis nos centros dos volumes. Note que estes fluxos são normais às faces dos volumes e, portanto, o ideal é que a aproximação numérica mantenha esta característica.

Os problemas na aproximação numérica

Dependendo do formato dos elementos de malha, a aproximação dos fluxos normais às faces fica comprometida. Para a malha gerada no canal com expansão abrupta, podemos organizar o equacionamento para um dado volume P de acordo com seus volumes vizinhos.

Por exemplo, para equacionar os fluxos que atravessam as faces do volume P, utiliza-se uma aproximação numérica envolvendo seus vizinhos E, W, N, S. Desta forma, a equação para o volume P usualmente envolve os valores dos vizinhos.
Mas a principal questão envolve a forma de representar o fluxo normal à face e o formato dos elementos da malha. O ideal seria que o vetor que liga os centros dos volumes fosse paralelo ao vetor normal à face. Desta forma, uma aproximação numérica usando o valor da variável no centro dos volumes já estaria respeitando a direção do fluxo normal à face. Isso facilita a vida, não?
Caso não o seja, a aproximação numérica precisaria ser corrigida ou adaptada para considerar o desvio do fluxo normal à face. São diferentes formas de correção do fluxo e irei discutir isso em futuros posts.

A ajuda da malha na representação do fluxo de propriedade

Vale notar que o formato geométrico dos volumes afeta diretamente a conectividade entre seus centros. Deste modo, afeta como será o cálculo da aproximação numérica. Este é o principal motivo dos profissionais de CFD buscarem a “malha perfeita” para seus problemas. E este é um dos tópicos que pretendo focar daqui em diante.
Espero que o texto tenha esclarecido algumas dúvidas. Se ainda sobrou algo, fique à vontade para comentar no post.

Um abraço e até a próxima!